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拉普拉斯变换与传递函数

傅里叶变换只沿虚轴观察频率；拉普拉斯变换再增加一个“增长或衰减”维度，因此能处理更多信号，并把微分方程变成代数方程。

1. 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换定义为

\[ X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt, \qquad s=\sigma+j\omega \]

将 \(s\) 展开：

\[ X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[x(t)e^{-\sigma t}\bigr]e^{-j\omega t}dt \]

也就是说，先用 \(e^{-\sigma t}\) 抵消信号的增长或衰减，再做傅里叶变换。当 \(\sigma=0\) 且积分收敛时，它退化为傅里叶变换。

2. 收敛域 ROC：答案的一部分

同一个代数式配上不同收敛域，可能对应不同时间信号。

以 \(X(s)=1/(s+a)\) 为例：

\[ e^{-at}u(t)\quad\xleftrightarrow{\mathcal L}\quad \frac1{s+a},\qquad \operatorname{Re}(s)>-a \]

而

\[ -e^{-at}u(-t)\quad\xleftrightarrow{\mathcal L}\quad \frac1{s+a},\qquad \operatorname{Re}(s)<-a \]

所以完整的拉普拉斯变换必须包含：

  1. 代数表达式；
  2. 收敛域 ROC。

有理变换的 ROC 规律

  • ROC 不包含任何极点；
  • 右边信号的 ROC 在最右侧极点右边；
  • 左边信号的 ROC 在最左侧极点左边；
  • 双边信号的 ROC 是两列极点之间的竖直带状区域；
  • 有限长且不含冲激的信号，ROC 通常覆盖整个 \(s\) 平面（可能除去边界无穷点）。

3. 拉普拉斯变换怎样处理微分方程

单边拉普拉斯变换从 \(0^-\) 积分到无穷，适合带初始条件的问题。它有

\[ \mathcal L\{\dot y(t)\}=sY(s)-y(0^-) \]
\[ \mathcal L\{\ddot y(t)\}=s^2Y(s)-sy(0^-)-\dot y(0^-) \]

一阶系统的完整响应

对

\[ \dot y(t)+ay(t)=bx(t),\qquad y(0^-)=y_0 \]

做单边拉普拉斯变换：

\[ (s+a)Y(s)=bX(s)+y_0 \]

因此

\[ Y(s)=\underbrace{\frac{y_0}{s+a}}_{\text{零输入响应}} +\underbrace{\frac{b}{s+a}X(s)}_{\text{零状态响应}} \]

初始条件与外部输入的贡献被清楚地分开了。

4. 传递函数、极点和零点

在零初始条件下，连续 LTI 系统的传递函数定义为

\[ H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} \]

它也是冲激响应的拉普拉斯变换：\(H(s)=\mathcal L\{h(t)\}\)。

有理传递函数可写成

\[ H(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots} \]
  • 使分子为零的 \(z_i\) 是零点；
  • 使分母为零的 \(p_i\) 是极点；
  • 极点对应系统自然响应中的指数模式 \(e^{p_it}\)。

极点 \(p=\sigma+j\omega\) 的直觉：

位置 时间响应
\(\sigma<0\) 指数衰减；离虚轴越远，衰减越快
\(\sigma>0\) 指数增长
\(\sigma=0\) 不衰减振荡或常量模式
\(\omega\ne0\) 以 $

因果与稳定

对有理系统函数：

  • 因果系统的 ROC 在最右极点的右侧；
  • BIBO 稳定要求 ROC 包含虚轴 \(j\omega\)；
  • 因此因果有理连续 LTI 系统稳定，当且仅当所有极点严格位于左半平面。

不要漏掉前提

“极点在左半平面即稳定”默认系统因果、有理，并讨论 BIBO 稳定。仅看到代数式而没有 ROC，不能完整判断对应信号的时域方向和稳定性。

5. 典型系统

5.1 一阶低通

\[ H(s)=\frac1{\tau s+1} \]

极点为 \(-1/\tau\)，冲激响应为

\[ h(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t) \]

单位阶跃响应为

\[ y(t)=1-e^{-t/\tau},\qquad t\ge0 \]

5.2 标准二阶系统

\[ H(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} \]
  • \(\omega_n\)：自然频率，主要影响快慢；
  • \(\zeta\)：阻尼比，主要影响振荡和超调。
阻尼比 极点与响应特征
\(\zeta=0\) 虚轴共轭极点，等幅振荡
\(0<\zeta<1\) 欠阻尼，衰减振荡并有超调
\(\zeta=1\) 临界阻尼，典型意义下最快无振荡
\(\zeta>1\) 过阻尼，无振荡但较慢

6. 常用性质与变换对

时域 \(s\) 域
\(\delta(t)\) \(1\)
\(u(t)\) \(1/s\)，ROC：\(\operatorname{Re}(s)>0\)
\(e^{-at}u(t)\) \(1/(s+a)\)，ROC：\(\operatorname{Re}(s)>-a\)
\(t^nu(t)\) \(n!/s^{n+1}\)，ROC：\(\operatorname{Re}(s)>0\)
\(\cos\omega_0t\,u(t)\) \(s/(s^2+\omega_0^2)\)，右侧 ROC
\(\sin\omega_0t\,u(t)\) \(\omega_0/(s^2+\omega_0^2)\)，右侧 ROC

重要运算性质：

\[ \mathcal L\{x(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-st_0}X(s) \]
\[ \mathcal L\{x*h\}=X(s)H(s) \]
\[ \mathcal L\{t\,x(t)\}=-\frac{dX(s)}{ds} \]

7. 部分分式与逆变换

求有理式逆变换时，先因式分解分母，再做部分分式。

Example

求

\[ X(s)=\frac{3s+5}{(s+1)(s+2)},\qquad\operatorname{Re}(s)>-1 \]

令

\[ X(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2} \]

解得 \(A=2,B=1\)。ROC 在最右极点右边，表示右边信号：

\[ x(t)=2e^{-t}u(t)+e^{-2t}u(t) \]

若 ROC 改变，代数分式不变但时域信号会改变。

8. 初值与终值定理

在适用条件满足时：

\[ x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s) \]
\[ \lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s) \]

终值定理不能机械套用

要使用终值定理，\(sX(s)\) 的所有极点必须严格位于左半平面，原点处允许符合终值条件的情形。若信号发散或持续振荡，终值不存在，即使代数极限看似能算也不能用。

9. 傅里叶与拉普拉斯怎样选择

问题 更合适的工具
信号由哪些频率组成 傅里叶变换
滤波器对各频率怎样衰减 \(H(j\omega)\)
求带初始状态的微分方程响应 单边拉普拉斯变换
分析连续系统极点、暂态和稳定性 拉普拉斯变换
从 \(H(s)\) 得频率响应 若 ROC 包含虚轴，令 \(s=j\omega\)

拉普拉斯不是“替代”傅里叶。前者更擅长系统动态和收敛性，后者更直接地揭示频率成分。

10. 本章自测

1. 为什么 \(1/(s+2)\) 不能在没有 ROC 时唯一确定时域信号？

ROC 为 \(\operatorname{Re}(s)>-2\) 时对应 \(e^{-2t}u(t)\)；ROC 为 \(\operatorname{Re}(s)<-2\) 时对应 \(-e^{-2t}u(-t)\)。

2. 因果系统 \(H(s)=1/[(s+1)(s-2)]\) 是否 BIBO 稳定？

否。因果 ROC 是 \(\operatorname{Re}(s)>2\)，不包含虚轴；同时存在右半平面极点 \(s=2\)，自然响应会增长。

3. \(H(s)=5/(s+5)\) 的时间常数与直流增益是多少？

写成 \(1/(s/5+1)\)，时间常数 \(\tau=1/5\) s；\(H(0)=1\)，直流增益为 1。

4. 为什么传递函数不能反映非零初始状态的全部影响？

它按定义是在零初始条件下取 \(Y(s)/X(s)\)，只描述输入引起的零状态响应；初始储能产生的零输入响应要另行加入。

下一步：采样、混叠与重建。