Z 变换与离散系统¶

Z 变换之于离散系统，就像拉普拉斯变换之于连续系统：它把差分方程和卷积变成代数运算，并用极点、零点和收敛域揭示因果性与稳定性。

1. Z 变换从哪里来¶

双边 Z 变换定义为

\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}, \qquad z=re^{j\Omega} \]

展开 $z^{-n}=r^{-n}e^{-j\Omega n}$：

\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[x[n]r^{-n}\bigr]e^{-j\Omega n} \]

它可以理解为：先用 $r^{-n}$ 调整序列的增长或衰减，再做 DTFT。当 $r=1$ 且单位圆属于收敛域时，Z 变换就是 DTFT：

\[ X(e^{j\Omega})=X(z)\big|_{z=e^{j\Omega}} \]

2. 收敛域 ROC¶

对 $x[n]=a^nu[n]$：

\[ X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{-n} =\frac1{1-az^{-1}}=\frac z{z-a} \]

几何级数收敛要求 $|az^{-1}|<1$，所以 ROC 为

\[ |z|>|a| \]

同一个代数式若 ROC 为 $|z|<|a|$，则对应左边序列

\[ -a^nu[-n-1] \]

因此和拉普拉斯变换一样，代数式 + ROC 才是完整答案。

有理 Z 变换的 ROC 规律¶

ROC 不包含极点；
右边序列的 ROC 在最外层极点之外；
左边序列的 ROC 在最内层极点之内；
双边序列的 ROC 是两个极点圆之间的圆环；
有限长序列的 ROC 通常是整个 $z$ 平面，但可能排除 $z=0$ 或 $z=\infty$。

3. 系统函数与差分方程¶

在零初始条件下，离散 LTI 系统函数为

\[ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\mathcal Z\{h[n]\} \]

延时性质

\[ x[n-k]\xleftrightarrow{\mathcal Z}z^{-k}X(z) \]

能把差分方程直接变成代数式。

从差分方程得到系统函数

对

\[ y[n]-0.8y[n-1]=0.2x[n] \]

在零初始条件下做 Z 变换：

\[ Y(z)-0.8z^{-1}Y(z)=0.2X(z) \]

因此

\[ H(z)=\frac{0.2}{1-0.8z^{-1}} \]

因果 ROC 为 $|z|>0.8$，冲激响应为

\[ h[n]=0.2(0.8)^nu[n] \]

它是一个平滑新数据的一阶低通，也是指数加权移动平均。

一般形式¶

若

\[ y[n]+\sum_{k=1}^{N}a_k y[n-k] =\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k] \]

则

\[ H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}} {1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}} \]

分子根是零点，分母根是极点。

4. 极点、因果性与稳定性¶

对有理离散 LTI 系统：

因果系统的 ROC 位于最外层极点之外；
BIBO 稳定要求单位圆 $|z|=1$ 位于 ROC 内；
所以因果有理离散 LTI 系统稳定，当且仅当全部极点严格位于单位圆内。

极点大小	对应模式 $p^n$ 的趋势
$	p
$	p
$	p
$p=re^{j\Omega_0}$	以 $\Omega_0$ 振荡，包络按 $r^n$ 变化

极点不能恰好压在单位圆上

例如 $h[n]=u[n]$ 的极点在 $z=1$，它对应累加器。对有界常量输入 1，输出会线性增长，因此不 BIBO 稳定。

5. 零极点怎样塑造频率响应¶

当单位圆属于 ROC 时，在单位圆上取 $z=e^{j\Omega}$ 得

\[ H(e^{j\Omega})=K \frac{\prod_i(e^{j\Omega}-z_i)}{\prod_k(e^{j\Omega}-p_k)} \]

几何上：

幅值与单位圆上的观察点到所有零点的距离乘积成正比；
幅值与到所有极点的距离乘积成反比。

所以零点靠近某个单位圆频率时，该频率被压低；极点靠近某频率时，该处响应会增强。

最简单的二点平均

\[ y[n]=\frac12x[n]+\frac12x[n-1] \]

\[ H(z)=\frac12(1+z^{-1}) \]

它在 $z=-1=e^{j\pi}$ 处有零点，因此完全抑制 $\Omega=\pi$ 的最高离散频率；对缓慢变化的低频则基本保留。

6. FIR 与 IIR 数字滤波器¶

特征	FIR	IIR
冲激响应	有限长	理论上无限长
差分方程	通常只含输入延时项	含过去输出反馈项
极点	除原点表示延时外，无反馈极点	有决定动态的极点
稳定性	系数有限时通常天然 BIBO 稳定	必须检查极点
线性相位	容易通过对称系数实现	一般较难
同等过渡带计算量	往往较高	往往较低

三点移动平均

\[ y[n]=\frac{x[n]+x[n-1]+x[n-2]}3 \]

是 FIR。上一节的指数平滑

\[ y[n]=0.2x[n]+0.8y[n-1] \]

是 IIR。

“反馈”不自动等于不稳定

IIR 使用过去输出，却只要所有极点在单位圆内就可以稳定。系数有限、定点量化和溢出会移动实际极点，因此嵌入式实现仍需测试数值稳定性。

7. 常用 Z 变换性质¶

设 $x[n]\leftrightarrow X(z)$：

时域操作	Z 域结果
$ax_1[n]+bx_2[n]$	$aX_1(z)+bX_2(z)$
$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$
$a^nx[n]$	$X(z/a)$
$n x[n]$	$-z\,dX(z)/dz$
$x[n]*h[n]$	$X(z)H(z)$

常用变换对：

序列	Z 变换	ROC
$\delta[n]$	$1$	全平面
$\delta[n-k]$	$z^{-k}$	视 $k$ 而定，通常除 0 或无穷
$a^nu[n]$	$1/(1-az^{-1})$	$
$u[n]$	$1/(1-z^{-1})$	$

8. 求逆 Z 变换¶

常用三种方法：

对照变换表，同时核对 ROC；
部分分式展开；
按 $z^{-1}$ 做长除法，直接读出序列系数。

部分分式

设

\[ X(z)=\frac1{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z^{-1})},\qquad |z|>0.5 \]

展开为

\[ X(z)=\frac{5/3}{1-0.5z^{-1}}-\frac{2/3}{1-0.2z^{-1}} \]

ROC 在两极点之外，两项都取右边序列：

\[ x[n]=\left[\frac53(0.5)^n-\frac23(0.2)^n\right]u[n] \]

9. 连续极点怎样映射到离散极点¶

对采样得到的指数模式：

\[ e^{st}\big|_{t=nT_s}=e^{sT_sn}=z^n \]

因此

\[ z=e^{sT_s} \]

连续左半平面 $\operatorname{Re}(s)<0$ 映到单位圆内 $|z|<1$；
虚轴映到单位圆；
右半平面映到单位圆外。

这解释了连续与离散稳定区域为什么看起来不同，却表达相同的“自然模式应随时间衰减”。不同离散化方法还会对零点和频率产生不同影响，不能只把传递函数中的 $s$ 直接换成某个简单表达式而不说明方法。

10. 本章自测¶

1. $x[n]=(1.2)^nu[n]$ 是否存在 DTFT？

其 Z 变换 ROC 为 $|z|>1.2$，不包含单位圆，所以 DTFT 不收敛。

2. 因果系统极点为 $0.5$ 和 $-0.8$，是否 BIBO 稳定？

是。两极点模均小于 1，因果 ROC 在 $|z|>0.8$，包含单位圆。

3. $y[n]=x[n]-x[n-1]$ 在 $\Omega=0$ 处响应如何？

$H(e^{j\Omega})=1-e^{-j\Omega}$，在 $\Omega=0$ 时为 0，因此去除直流；它相当于离散差分高通。

4. FIR 是否绝不会出现工程问题？

不是。FIR 在有限系数理想数学模型下稳定，但仍可能有延迟、计算量、定点溢出、系数量化和缓存边界等问题。

下一步：总复习与练习。

极点大小	对应模式 \(p^n\) 的趋势
$	p
$	p
$	p
\(p=re^{j\Omega_0}\)	以 \(\Omega_0\) 振荡，包络按 \(r^n\) 变化

时域操作	Z 域结果
\(ax_1[n]+bx_2[n]\)	\(aX_1(z)+bX_2(z)\)
\(x[n-k]\)	\(z^{-k}X(z)\)
\(a^nx[n]\)	\(X(z/a)\)
\(n x[n]\)	\(-z\,dX(z)/dz\)
\(x[n]*h[n]\)	\(X(z)H(z)\)

序列	Z 变换	ROC
\(\delta[n]\)	\(1\)	全平面
\(\delta[n-k]\)	\(z^{-k}\)	视 \(k\) 而定，通常除 0 或无穷
\(a^nu[n]\)	\(1/(1-az^{-1})\)	$
\(u[n]\)	\(1/(1-z^{-1})\)	$