信号的表示与基本运算¶

信号是承载信息的函数。温度、电压、角度、速度、图像灰度和网络数据包，都可以在选定自变量后表示成信号。

1. 什么是信号¶

最常见的信号以时间为自变量：

连续时间信号写作 \(x(t)\)，例如麦克风电压；
离散时间信号写作 \(x[n]\)，例如 MCU 每 1 ms 读取一次的陀螺仪数据。

这里的“连续/离散”说的是自变量的取值方式，不是幅值。数字信号通常还会把幅值量化，但“离散时间”本身并不要求幅值只能取整数。

从连续到离散

若连续角度为 \(\theta(t)\)，以采样周期 \(T_s\) 读取，则

\[ \theta[n]=\theta(nT_s) \]

\(n\) 是无量纲的整数序号，真正的物理时刻是 \(t=nT_s\)。

2. 常见信号分类¶

2.1 确定信号与随机信号¶

确定信号：可用明确规则描述，如 \(x(t)=2\cos(3t)\)。
随机信号：单次取值不可准确预知，只能描述统计规律，如传感器热噪声。

随机信号并非“毫无规律”；它常用均值、方差、相关函数和功率谱描述。

2.2 周期信号¶

连续信号若存在最小正数 \(T_0\)，使

\[ x(t+T_0)=x(t) \]

则 \(T_0\) 是基波周期，\(f_0=1/T_0\) 是基频，\(\omega_0=2\pi/T_0\) 是基波角频率。

离散信号若存在最小正整数 \(N_0\)，使

\[ x[n+N_0]=x[n] \]

则它是周期序列。

离散正弦不一定周期

\(x[n]=\cos(\Omega_0 n+\varphi)\) 只有在 \(\Omega_0/(2\pi)\) 是有理数时才周期。若

\[ \frac{\Omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q} \]

且 \(p,q\) 互质，那么基波周期是使 \(\Omega_0N_0=2\pi k\) 成立的最小正整数，通常可由分母 \(q\) 求得。

2.3 偶信号与奇信号¶

偶信号：\(x(-t)=x(t)\)，图像关于纵轴对称；
奇信号：\(x(-t)=-x(t)\)，图像关于原点对称。

任意信号都能唯一拆成偶部与奇部：

\[ x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},\qquad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} \]

并且 \(x(t)=x_e(t)+x_o(t)\)。离散时间公式完全相同，只需把 \(t\) 换成 \(n\)。

2.4 能量信号与功率信号¶

连续信号的总能量和平均功率定义为

\[ E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt \]

\[ P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt \]

离散信号把积分换为求和：

\[ E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2,\qquad P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 \]

类型	条件	常见例子
能量信号	\(0<E<\infty\)，平均功率为 0	有限时长脉冲、衰减指数
功率信号	\(0<P<\infty\)，总能量通常无穷	非零周期信号、常数信号
两者都不是	能量与平均功率都不满足上述条件	随时间无限增长的 \(t\)

Note

除零信号外，一个信号不能既是能量信号又是功率信号。“功率”在这里是数学度量，不一定等于电路中的实际瓦特数。

3. 自变量变换：先动时间轴¶

对 \(y(t)=x(at-b)\)，建议先写成

\[ y(t)=x\!\left[a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right] \]

然后按以下顺序理解：

\(a<0\) 时包含时间反转；
\(|a|>1\) 表示压缩，变化变快；\(0<|a|<1\) 表示展宽，变化变慢；
最后根据关键点映射判断平移。

最可靠的方法不是背“左加右减”，而是令原信号中的关键时刻 \(t_x\) 满足

\[ at_y-b=t_x\quad\Rightarrow\quad t_y=\frac{t_x+b}{a} \]

关键点映射

\(x(t)\) 只在 \(0\le t\le2\) 非零，求 \(y(t)=x(2t-4)\) 的非零区间：

\[ 0\le2t-4\le2\quad\Rightarrow\quad2\le t\le3 \]

原来宽度为 2，现在宽度为 1，说明压缩了 2 倍，并移动到了 \([2,3]\)。

幅值变换则作用在纵轴：\(y(t)=Ax(t)+B\) 中，\(A\) 控制幅值缩放和上下翻转，\(B\) 控制竖直平移。

4. 必须熟悉的基本信号¶

4.1 单位阶跃¶

\[ u(t)= \begin{cases} 0,&t<0\\ 1,&t>0 \end{cases} \]

\(t=0\) 处取值通常不影响连续时间积分。离散单位阶跃为

\[ u[n]= \begin{cases} 0,&n<0\\ 1,&n\ge0 \end{cases} \]

阶跃可以“打开”一段信号。例如宽度为 \(T\) 的矩形脉冲：

\[ p(t)=u(t)-u(t-T) \]

4.2 单位冲激¶

连续时间冲激 \(\delta(t)\) 不是普通的“高度无穷大函数”，应通过性质理解：

\[ \delta(t)=0\quad(t\ne0),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1 \]

它最重要的抽样性质是

\[ \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0) \]

缩放时一定要注意面积不变：

\[ \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) \]

离散冲激更直观：

\[ \delta[n]= \begin{cases} 1,&n=0\\ 0,&n\ne0 \end{cases} \]

并有 \(\sum_kx[k]\delta[n-k]=x[n]\)。

阶跃和冲激的关系为

\[ \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t),\qquad u[n]-u[n-1]=\delta[n] \]

4.3 指数与正弦¶

连续复指数

\[ x(t)=e^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t} \]

把增长/衰减 \(e^{\sigma t}\) 和振荡 \(e^{j\omega t}\) 统一起来。由欧拉公式

\[ e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t \]

因此正弦信号可以看成两个方向相反的复指数之和。

离散复指数为 \(z^n=r^ne^{j\Omega n}\)。与连续时间不同，离散频率具有周期性：

\[ e^{j(\Omega+2\pi k)n}=e^{j\Omega n} \]

所以 \(\Omega\) 和 \(\Omega+2\pi k\) 表示同一个离散频率。

5. 机器人中的例子¶

信号	常用表示	需要关注的性质
电机编码器角度	\(\theta[n]\)	离散、常含量化误差
IMU 角速度	\(\omega[n]\)	离散、噪声随机、可能有零偏
PWM 指令	周期脉冲	周期、占空比决定平均值
碰撞瞬间的冲量	近似冲激	持续时间短、峰值高、积分有限
关节目标阶跃	\(\theta_d(t)=\theta_0u(t)\)	用于测试系统瞬态响应

6. 本章自测¶

1. \(x(t)=e^{-2t}u(t)\) 是能量信号还是功率信号？

是能量信号：

\[ E=\int_0^\infty e^{-4t}dt=\frac14 \]

能量有限，因此平均功率为 0。

2. \(x[n]=\cos(\pi n/3)\) 的周期是多少？

要使 \((\pi/3)N_0=2\pi k\)，最小正整数解为 \(N_0=6\)。

3. \(x(t)\) 在 \(1\le t\le3\) 非零，\(x(-2t+1)\) 在哪里非零？

解 \(1\le-2t+1\le3\)，得到 \(-1\le t\le0\)。负号造成翻转，2 造成压缩。

4. 为什么 \(\delta(2t)\) 不是 \(\delta(t)\)？

冲激以面积为 1。时间压缩 2 倍后幅值权重必须变为 \(1/2\)，所以 \(\delta(2t)=\frac12\delta(t)\)。

下一步：系统与 LTI 系统。